Читать книгу 📗 "Статьи и речи - Максвелл Джеймс Клерк"
ƒ(x)=Ce
Ax²
,
φ(r²)=C²e
Ar²
.
Если считать A положительным, то это число частиц будет возрастать со скоростью, и мы найдём, что полное число частиц бесконечно. Поэтому допустим, что A отрицательно и равно — -1/α², так что число частиц, заключённых между x и x+𝑑x, равно
NCe
-𝑥²/α²
𝑑x.
Интегрируя от x=-∞ до x=+∞, находим полное число частиц
NC√
π
α=N,
откуда
C=
1
α√π
,
а поэтому ƒ(x) равно
1
α√π
e
-𝑥²/α²
.
Отсюда мы можем вывести следующие заключения:
1) Число частиц, скорость которых после разложения по определённому направлению лежит между x и x+𝑑x есть
N
1
α√π
e
-𝑥²/α²
𝑑x.
2) Число частиц, фактическая скорость которых лежит между v и v+𝑑v, равно
N
4
α³√π
v²e
-v²/α²
𝑑v.
3) Чтобы найти среднее значение v, необходимо сложить скорости всех частиц и разделить на число частиц. В результате получим: средняя скорость v=2α/√π.
4) Для того чтобы найти среднее значение v² нужно сложить все значения вместе и разделить на N среднее значение v²=3/2α². Это больше, чем квадрат средней скорости, как и должно быть» [8].
Обобщение на случай, когда молекулы подвержены действию внешней силы, было выполнено в 1873 г. [9]. Обозначая через (ξ, η, ς) компоненты скорости, можно записать распределение скоростей в данном месте в виде
𝑑N=Ce
AM(ξ²+η²+ς²)
𝑑ξ𝑑η𝑑ς𝑑x𝑑y𝑑z,
где C функция положения [10]. Максвелл считал, что внешняя сила не влияет на скорости в течение очень краткого времени соударений, так что зависимость от скорости будет все ещё сохранять вышеприведённую форму, хотя постоянная A может в принципе зависеть от положения. Если сила выводится из потенциала φ, то «изменения x, y, z, вызванные движением молекул за время δt, суть
δx=ξδt,
δy=ηδt,
δz=ςδt,
а изменения ξ, η, ς за тот же промежуток времени вследствие действия силы
δξ=
𝑑ψ
𝑑x
δt,
δη=
𝑑ψ
𝑑y
δt,
δς=-
𝑑ψ
𝑑z
δt.
Положим
c=log C log
𝑑N
𝑑ξ𝑑η𝑑ς𝑑x𝑑y𝑑z
=
c+AM(ξ²+η²+ς²).
Изменение этой величины вследствие изменений δx, δy, δz, δξ, δη, δς равно
⎧
⎪
⎩
ξ
𝑑c
𝑑x
+η
𝑑c
𝑑y
+ξ
𝑑c
𝑑z
⎫
⎪
⎭
δt-
-2AM
⎧
⎪
⎩
ξ
𝑑ψ
𝑑x
+η
𝑑ψ
𝑑y
+ξ
𝑑ψ
𝑑z
⎫
⎪
⎭
δt+M(ξ²+η²+ς²)•
•
⎧
⎪
⎩
ξ
𝑑A
𝑑x
+η
𝑑A
𝑑y
+ς
𝑑A
𝑑z
⎫
⎪
⎭
δt.
Так как число молекул не меняется за время их движения, то эта величина равна нулю, каковы бы ни были значения ξ, η, ς. И, в силу последнего члена,
𝑑A
𝑑x
=0,
𝑑A
𝑑y
=0,
𝑑A
𝑑z
=0
или A постоянно во всей области пересекаемой движением молекул.
Теперь, сравнивая первый и второй члены, находим:
c=AM(2ψ+B).
[11]
Постоянные A и B могут быть определены, как обычно, через полное число молекул и полную энергию. Когда присутствуют молекулы разных сортов, получается закон распределения такого же вида, в котором A — то же самое для каждого вида молекул (и следовательно, средняя кинетическая энергия для каждого вида одна и та же), но B может быть различным.
Этот закон более строго выведен Больцманом [12] и известен под названием закона распределения Максвелла — Больцмана. В современных обозначениях можно записать его, определив полную энергию (кинетическую плюс потенциальную), молекулы следующим образом:
E=
1
2
M(ξ²+η²+ς²)+ψ
Этот закон тогда означает, что относительная вероятность нахождения молекулы с энергией E есть
e
-E/
𝑘T
где 𝑘 — постоянная Больцмана, T — абсолютная температура. В таком виде эта формула является фундаментальным постулатом статистической механики, если считать, что энергия может включать также энергию внутриатомных и внутримолекулярных сил.
Другой вклад Максвелла в кинетическую теорию — это его работа о свойствах переноса и, в частности, вязкости. Первый важный результат, полученный им, заключается в том, что для газа, состоящего из жёстких шариков, коэффициент вязкости должен быть независим от плотности. Для того чтобы получить этот результат, он воспользовался методом среднего свободного пробега Клаузиуса.
«Пусть система будет разделена на слои параллельные плоскости xy, пусть переносное движение каждого слоя в направлении x есть u, и пусть u=A+Bz. Мы должны рассмотреть взаимодействие между слоями с положительной и отрицательной сторон плоскости xy. Сначала определим взаимодействие между двумя слоями 𝑑z и 𝑑z', расположенными на расстояниях z и -z' с противоположных сторон плоскости, площадь каждого из которых единична. Число частиц в единицу времени, начинающих движение от 𝑑z и достигающих расстояния между nl и (n+𝑑n)l, равно
N
v
l
e
-n
𝑑z𝑑n.
Число частиц, заканчивающих пробег в слое 𝑑z' равно
N
v
2nl²
e
-n
𝑑z𝑑z'𝑑n.
Средняя скорость в направлении x, которую имела каждая из частиц до столкновения, равна A+Bz, а после столкновения A+Bz'. Средняя масса слоя равна M, так что среднее количество движения, сообщаемое каждой частицей, равно MB(z-z'). Полное действие этих столкновений выражается поэтому следующим образом:
NMB
v
2nl²
(z-z')e
-n
𝑑z𝑑z'𝑑n.
Сначала нужно интегрировать по z' между z'=0 и z'=z-nl. Это даёт
1
2
NMB
v
2nl²
(n²l²-z²)a
-n
𝑑z𝑑n
для действия между слоем 𝑑z и всеми слоями ниже плоскости xy. Затем, интегрируя от z=0 до z=nl, получим
1
6
MNBlvn²e
-n
𝑑n.
Интегрируя от n=0 до n=∞ находим полное трение между единицей площади над и под плоскостью:
F=
1
3
MNlvB=
1
3
ρlv
𝑑u
𝑑z
=μ
𝑑u
𝑑z
где μ — обычный коэффициент внутреннего трения:
