Читать книгу 📗 Суперфрактал - Деменок Сергей

то, приравняв его к нолю, получим формулу для расчета

Теперь, беря значение х₂ в качестве приближенного значения корня и повторяя этот алгоритм, находим следующее значение х₃ и так далее. Этот процесс быстро сходится к искомому значению корня.

Решения действуют как центры притяжения, а тема притяжения всегда притягивала Ньютона!

Единственный досадный недостаток этого метода в том, что уравнения обычно имеют более одного корня, особенно если среди этих корней есть комплексные решения. Какое именно решение будет найдено с помощью метода итераций, зависит от первоначальной догадки и первого шага.

В 1879 году английский математик сэр Артур Кейли (1821-1895) опубликовал работу, в которой рассматривался собственно оператор Ньютона, а не его результаты. Найдя ответ для уравнения 2-й степени, Кейли объявил, что случай многочленов более высокой степени будет представлен в следующей публикации, которая так никогда и не появилась. Лорду Кейли пришлось оставить этот вопрос, поскольку он оказался слишком сложным.

Итерация Ньютона производит две области притяжения. Для квадратичного уравнения:

Это область в окрестности z = 1 и область в окрестности z = -1. Граница этих областей разбивает комплексную плоскость на два сектора по 180°. Естественно думать, что существуют три области притяжения, которые разбивают комплексную плоскость на три сектора по 120°. Для кубического уравнения:

Но, как обнаружил Артур Кейли, к своему крайнему изумлению, это не так.

Проблема, с которой он столкнулся, явилась начальной точкой исследований Хаббарда. В 1977 году тогда еще совсем молодому американскому математику Джону Хаббарду, преподававшему математику в Парижском университете Орсей, студенты-первокурсники задали невинный вопрос: как будет сходиться точка, равноудаленная от трех корней кубического уравнения? Как далеко простирается влияние притяжения различных центров и на что похожа граница между ними? Хаббард довольно быстро доказал, что для уравнения второй степени данная последовательность всегда будет сходиться к ближайшему корню. Исключение составляют случаи, когда начальная точка z₀ равноудалена от обоих корней, т. е. лежит на прямой, проведенной через середину отрезка, соединяющего два корня, перпендикулярно ему. В этом случае последовательность итераций все время остается на этой прямой, совершая хаотическое движение. В отличие от Кейли, у Хаббарда в распоряжении был компьютер. Уже к концу семестра им и его студентами было получено несколько важных экспериментальных результатов, описание которых заслуживает внимания.

Рассмотрим простое кубическое уравнение, при решении которого требуется найти кубический корень из единицы:

В случае с действительными числами решение вполне тривиально — единица. Однако данный многочлен имеет также два комплексных корня:

и

В самом грубом приближении комплексную плоскость можно было, как пирог, разделить на три равные части, каждая из которых являлась областью притяжения соответствующего корня.

Эта была именно та картинка, которую первоначально представлял себе Хаббард (и многие другие до него). Однако более скрупулезное компьютерное исследование выявило, что геометрия границ областей притяжения имеет гораздо более сложную форму.

Нанесенные на комплексную плоскость, три указанных корня образуют равносторонний треугольник. Коль скоро в качестве начальной точки выбрано любое комплексное число, вопрос заключается в том, чтобы увидеть, какое именно из трех решений даст вычисление по методу Ньютона. Это все равно что рассматривать данный метод как динамическую систему, а три решения — как три аттрактора. Метод Ньютона для кубического уравнения z³-1 = 0 сводится к итерационной формуле:

Анализ этой формулы показывает, что решения кубического уравнения ведут себя странно. Представим комплексную плоскость в виде ровной поверхности, спускающейся к трем углублениям, окрашенным для наглядности в разные цвета. Шарик, начав катиться из любой точки на плоскости, приведет в одну из долин: состояние, в котором оказалась динамическая система, зависит от ее начального состояния. Наивное предположение, будто любое z₀ будет сходиться к ближайшему из трех корней, следует отбросить по причине его несостоятельности. Например, начальное значение z₀ = -1 сходится к 1, наиболее удаленному от него корню. Системный расчет показывает, как некоторые расчетные точки быстро приводят к одному из корней, другие словно бы прыгают рядом с ним совершенно произвольно, пока не приближаясь к решению. Иногда кажется, что точка может стать началом периодического цикла, который будет повторяться вечно, не достигая ни одного из трех возможных корней (неравновесная устойчивость).

Интересно, что форма этих областей удивительно напоминает множества Жюлиа для многочленов второй степени. Можно сказать, что существуют «хорошие» (по отношению к методу Ньютона) уравнения, для которых почти все начальные точки ведут к какому-либо корню, и «плохие», для которых метод Ньютона иногда приводит к появлению притягивающего цикла.

Линии границ в конце концов открыли Хаббарду особое, фрактальное свойство:

 «между областями притяжения двух центров всегда появляется область притяжения третьего центра».

Непостижимо, но каждую пограничную точку окаймляли зоны всех трех центров — совершенно безумное лоскутное одеяло. На границе между любыми двумя центрами притяжения всегда расположена гирлянда островков третьего центра притяжения. Границы этих островков, в свою очередь, состоят из гирлянд островков меньшего размера и т. д.

Фрактал Ньютона, полученный методом Ньютона, примененного для поиска решений кубического уравнения Z³ -1 = 0. Один из корней лежит в белой области рисунка. Два других корня — в черной области рисунка. Пограничный слой между этими тремя корнями представляет собой фрактал. Каждая точка спиралеобразных границ соприкасается с тремя областями трех корней кубического уравнения

Границы Ньютона с разрешением 2048 х 2048 пикселей

Такая феерия была бы невозможна, если бы не фрактальная природа границ: непрерывно уменьшаясь в размерах, детали границ постоянно воспроизводят сами себя. В результате оказывается, что каждая точка такой фрактальной границы соседствует сразу с тремя областями притяжения.

Таков естественный результат конкуренции нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результате соперничества возникают редко. Чаще имеет место нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки. Между двумя конкурентами порой возникает третий, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния. Может случиться, что один центр захватит всю плоскость, но и его власть имеет границы в виде изолированных точек, которые неподвластны его притяжению, — это, так сказать, «диссиденты». Пайтген и Рихтер в книге «Красота фракталов» поясняют: