Читать книгу 📗 Суперфрактал - Деменок Сергей

При достаточно большом n эта формула аппроксимирует нормальное распределение.

С появлением ЭВМ появились алгоритмы компьютерной генерации случайных чисел. Одним из первых был предложен алгоритм «середины квадрата». Он был предложен в 1946 году фон Неманом. Алгоритм позволяет генерировать числа с любым числом знаков, соответствующим возможности ЭВМ.

Метод очень прост. Допустим, что нужны четырехзначные числа. Выбираем первое число Х₀ произвольно. Например, X₀ = 8219. Возводим его в квадрат. Получится восьмизначное число 67 551 961. Извлекаем средние цифры: 5519. Следующим числом последовательности является X₁ = 5519. Возводим в квадрат 5519, получаем 30459361. Следующее случайное число Х₂ = 4593. Если первые из средних цифр оказываются нолями, то получается число с меньшим количеством знаков. Например, Х₂² =21095 649, Х₃ = 956. Возводя его в квадрат, нужно получить восьмизначное число, дописав спереди ноли Х₃² = 00913936, так что Х₄ = 9139 и т. д. Производные случайные числа Y_n, равномерно распределенные в интервале от ноля до единицы, получаются из чисел Х_n по формуле Y_n = Х_n/1000, где n = 0, 1, 2, 3, ..., так что Y₀ = 0,8219; Y₁ = 0,5519; Y₂ = 0,4593 и т. д.

На первый взгляд метод кажется хорошим. Однако тщательное исследование показало, что это далеко не так. Главный недостаток метода состоит в том, что при некоторых начальных числах последовательность «зацикливается». Выяснилось, например, что в классе четырехзначных чисел последовательности часто завершаются циклом 6100, 2100, 4100, 8100, 6100. Период цикла равен всего-навсего четырем, что, конечно, никуда не годится. Существует число, которое сразу же воспроизводит самое себя. Это 3792 (3792²= 14 379 264). Воспроизводит себя также ноль, и очень часто последовательности, полученные методом середины квадрата, вырождаются в ноль. Поэтому метод середины квадрата представляет в наше время лишь исторический интерес. В настоящее время разработано множество более совершенных методов. При этом оказывается, что для ЭВМ различных конструкций оптимальными являются разные генераторы.

В любом случае математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение внешних воздействий — задаются до начала расчетов. В качестве примеров рассмотрим алеаторные кривые Коха и алеаторные фракталы Мандельброта. Алеаторные фракталы Коха построены при μ = 0. Расчеты показывают, что математическое ожидание не влияет на форму линейного фрактала, приводя только к смещению его относительно осей координат. Что же касается среднеквадратичного отклонения, то с увеличением рассеяния случайных возмущений форма фрактала Коха «размазывается и распыляется».

В наших расчетах использовался генератор случайных чисел Random (G), производящий случайное рассеивание с нормальным законом распределения. Построение кривой Коха выполняется с помощью двух СИФ-преобразований функций вида:

где b = 1/(2sqrt(3)).

Возмущающее воздействие на каждом шаге итерации вводится как на расчетные параметры (α = α + RandAB, b = b + RandAB), так и на координаты (PX+RandP, PY+RandP) согласно итерационному алгоритму «замешивания» случайной величины. Алгоритм вычислений показан на рисунке на с. 204.

Результат вычислений производит ожидания. Алеаторные фракталы Коха были получены при μ = 0. Как в случае нормального распределения случайных величин, так и при генерации квазислучайных действительных чисел качественно результат одинаков: с увеличением степени рассеяния случайных величин кривая Коха не просто распыляется, но производит скопление точек с явно видной направленностью. Математическое ожидание в случае линейного фрактала Коха приводит лишь к сдвигу фигуры по осям координат, который не влияет на форму самой фигуры.

Построение фрактала Мандельброта производится по формуле

с добавлением оператора Random по параметру С или по координатам точки Z.

Алеаторный фрактал Коха при μ = 0:

а) при нормальном распределении случайных величин и σ = 0; σ = 0,03; σ = 0,3 соответственно;

б) при квазислучайном распределении действительных чисел с диапазоном разброса 20, 60 и 300 соответственно

Упрощенный алгоритм расчета, записанный на условном языке программирования, приведен на рисунке (с. 206).

Необходимо отметить, что возмущающее воздействие по параметру (а = а + RandAB, b = b + RandAB) перекрестно влияет на действительную и мнимую части координат, а возмущающее воздействие на координаты точки Z (PX+RandP, PY+RandP) имеет независимый и более грубый характер влияния на их значения. Результаты, полученные при μ = 0, демонстрируют формирование асимметрии, сопутствующей размыванию привычной картинки Мандельброта.

Нами замечено, что, в отличие от линейного фрактала Коха, форма нелинейного фрактала Мандельброта чувствительна к величине математического ожидания, что отлично иллюстрируют алеаторные фракталы Мандельброта, приведенные на верхнем рисунке (с. 208).

Наконец, самый наглядный эффект влияния случайных возмущений на форму фрактала в целом показан на последнем рисунке. Здесь мы видим, что главные кардиоида и круг радикально изменяют свою форму при изменении случайного воздействия. Появляются совершенно новые формы — символы, напоминающие сердце, знак пик, знаки слияния и разделения.

Алеаторный фрактал Мандельброта при μ = 0:

а) в полном изображении при σ = 0; σ = 0,042 и σ = 0,073 соответственно;

б) в увеличенном фрагментарном изображении в прямоугольнике Xmin = -1,5; Хтах = +0,5 и Ymin = -1,0; Ymax = + 1,0 при σ = 0; σ = 0,05; σ = 0,07 и σ = 1,0

Алеаторные фракталы Мандельброта при σ = 0 и μ = 0,03; μ = 0,1; μ = 0,3; μ = 0,5 соответственно

Любая модель, будучи абстракцией, не столько отражает реальность как она есть, сколько служит инструментом для выявления реальности как она должна стать. Аттрактор в фазовом пространстве динамической системы — это пример того, что с высокой степенью вероятности может стать реальностью. Аттрактор может быть точкой, кругом, тором или фракталом.

Фрактал может служить иллюстрацией описанных представлений, в которых формальное (имеющее форму), действенное (процесс) и символическое (инвариант) образуют единое согласованное целое. Форма фрактала и алгоритм построения фрактала «некоммутативны» в том смысле, что они не зависят друг от друга. Чтобы они сцепились, чтобы активировался тот или иной алгоритм и чтобы появилась та или иная форма, нужен своего рода резонанс. Если структура алгоритма, структура формы и структура внешних условий входят в согласие, появляется фрактал. Алгоритм работает, форма появляется, окружение не сопротивляется. Фрактал есть репрезентация того, что структурирована не форма сама по себе и не алгоритм сам по себе, но организация формы, алгоритма и внешних условий. Эффект такого резонансного поведения формы, алгоритма и внешних условий символизирует появление символического кода — фрактальной размерности.