Читать книгу 📗 Суперфрактал - Деменок Сергей

Законы сохранения — это проявления глубинной симметрии природы.

Что же такое «непрерывное преобразование симметрии»? Поясним на примере. Круг симметричен относительно непрерывного вращения, поскольку, на какой бы угол мы его ни повернули, он будет выглядеть не изменившимся. С квадратом такая манипуляция не пройдет. Квадрат симметричен только при повороте на 90°. Применительно к симметрии законов сохранения это означает следующее. Математические уравнения, описывающие динамику энергии в физической системе в какой-то момент времени, будут точно такими же и через бесконечно малый промежуток времени. Это хорошая новость. Вы только представьте себе мир, в котором законы меняются на каждом шагу!

Таким образом, закон сохранения энергии указывает на то, что физические законы неизменны во времени.

Подчеркнем, что речь идет о физических законах, а не о физических событиях. Так, купить акции Россельхозбанка в прошлом квартале — это не то же самое, что купить их год назад. При этом процесс покупки не изменяется, коль скоро сохраняются правила в работе банка. Именно об этом речь. Энергия — величина того уровня реальности, который соответствует правилам поведения, уравнениям движения, но не самому поведению и не фактическому его результату.

Сам факт существования такой величины, как энергия, есть знак того, что существуют в реальности такие символические структуры, которым подчиняется поведение физической реальности.

Симметрия проявляет себя в геометрических формах. Симметричными могут быть аккорды, тексты, уравнения, частицы вещества и кванты действия. Симметрия стала любимицей физиков. Она помогла им разобраться с классификациями кристаллов и элементарных частиц, помогла решать уравнения, вычислять вероятности квантовых переходов и делать фантастические обобщения. Одно из таких обобщений было сделано в Московском математическом институте им. Стеклова доктором Ю.А. Гольфандом и его аспирантом Е. П. Лихтманом в 1970 году и получило название «суперсимметрия». Идея суперсимметрии в том, что элементарные частицы вещества (такие как кварки и электроны) и элементарные взаимодействия (такие как глюоны и фотоны) могут поменяться местами так, что ничего вокруг не изменится. Символично то, что суперсимметрию между веществом и взаимодействием обнаружили математики. Они рассматривали вещество и взаимодействие в символическом плане. Они изучали формулы. Формулы состоят из символов, означающих величины и связывающие их операции. В этом смысле суперсимметрия есть символическая симметрия — симметрия символов.

Можно сделать следующий шаг и распространить принцип суперсимметрии на вещество, действие и информацию. По аналогии и по смысловому созвучию с понятием «гиперреальность», введенному философами постмодернизма, мы назовем гиперсимметрией такое обстоятельство, при котором символ может заместить вещь или действие таким образом, что в реальности ничего не изменится.

Эта догадка, высказанная мной в 2015 году в работах «Просто символ» и «Символ и капитал», находит подтверждение в повседневном опыте. Благодаря внедрению цифровых платформ происходит смещение потребления от приобретения вещей и услуг — к совместному пользованию вещами и услугами. Например, миллионы людей через цифровые платформы получают доступ к миллиардам книг в магазине Kindle Store компании Amazon, могут слушать почти любую музыку с помощью Spotify или присоединиться к предприятию по совместному использованию автомобилей. Реальность сама собой раскрывает себя как единство вещей, действий и символов. Это, собственно, и есть гиперреальность. Но вернемся к фракталам.

Открытие фракталов стало открытием еще одной формы преобразований, относительно которой может сохраняться инвариантность формы. Типичное свойство фракталов — самоподобие — заключается в инвариантности формы относительно изменений масштаба. На этом основании самоподобие также называют масштабной симметрией или симметрией подобия. Фрактальное подобие допускает «исчезающе малое искажение». Это значит, что фрактальная симметрия позволяет вносить хаотичность как в процесс построения фрактала, так и в структуру фрактала. Именно такое семейство фракталов сконструировал Майкл Барнсли в 2002 году. Он назвал его суперфракталом. Но об этом позже...

Сейчас заметим только то, что

симметрия есть

форма,

преобразование,

символ,

фрактал есть

форма,

алгоритм

и число.

Фрактал: форма, алгоритм и число

Фрактал — блестящая абстракция, которая отражает форму предметов реального мира. Если оглядеться вокруг, станет понятно, что лишь немногие формы описываются простыми фигурами вроде прямых, окружностей, сфер и кубов. Как и любая фигура, фрактал есть и форма, и процесс построения формы. Однако, в отличие от окружности, построение которой под силу ребенку, алгоритм построения фрактала много сложнее. Он требует филигранной точности. Казалось бы, что форма фрактала однозначно определяется его алгоритмом. Но нет. Алгоритм построения и форма фрактала есть два объекта.

Совершенно разные алгоритмы могут произвести одну и ту же фрактальную форму.

Рассмотрим несколько совершенно разных алгоритмов, которые производят одну и ту же фрактальную форму — «салфетку Серпинского».

Метод вырезания трем

Берем равносторонний треугольник со стороной r. На первом шаге вырезаем в центре него перевернутый вершиной вниз равносторонний треугольник с длиной стороны r₁ = r₀/2. В результате этого шага у нас получаются три равносторонних треугольника с длинами сторон r₁ = r₀/2, располагающиеся в вершинах исходного треугольника.

На втором шаге в каждом из трех образовавшихся треугольников вырезаем перевернутые вписанные треугольники с длиной стороны r₂ = r₁/2 = r₀/4. Результат — 9 треугольников с длиной стороны  r₂ = г/4.

Продолжаем повторять эту операцию, на любом n-м шаге в каждом из имеющихся треугольников вырезая перевернутый треугольник со стороной гn = г₀/2ⁿ = r₀2^-n.

В результате форма «салфетки Серпинского» постепенно становится все более и более определенной.

Алгебраический алгоритм

Поместим равносторонний треугольник с длиной стороны, равной 1, на комплексную плоскость = х + iу (левый треугольник на рисунке). Пусть у нас имеются три оператора t₁, t₂, t₃, каждый из которых переводит исходный равносторонний треугольник в подобный ему, но в два раза меньшего размера.

Применение операторов t₁, t₂, t₃ приводит к тому, что мы получаем треугольник, подобный исходному, но меньшего размера и строго определенного положения по отношению к исходному треугольнику, как показано на рисунке.

Многократное повторение этих операторов позволяет построить «салфетку Серпинского».

Привлекательность этого метода в том, что операторы t₁, t₂, t₃ можно выразить алгебраическими формулами, приведенными в таблице, и запрограммировать.