Читать книгу 📗 "Курс теоретической астрофизики - Соболев Виктор Викторович"
В данном случае атмосфера освещена не только прямыми солнечными лучами сверху, но и диффузным излучением, идущим от поверхности планеты снизу. Отношение коэффициента излучения к коэффициенту поглощения теперь мы обозначим через 𝑆(τ,μ₀) и вместо уравнения (19.24) получаем
𝑆
(τ,μ₀)
=
λ
2
τ₀
∫
0
𝐸₁|τ-𝑡|
𝑆
(𝑡,μ₀)
𝑑𝑡
+
λ
4
𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ₀
⎞
⎟
⎠
+
+
λ
2
𝐼
(μ₀)
1
∫
0
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀-τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑μ
.
(19.48)
где 𝐼(μ₀) — интенсивность излучения, отражённого поверхностью.
Нам надо найти коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) определяемые формулами
𝐹
ρ
(μ,μ₀)
μ₀
=
τ₀
∫
0
𝑆
(τ,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
+
+
𝐼
(μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ₀
⎞
⎟
⎠
,
(19.49)
𝐹
σ
(μ,μ₀)
μ₀
=
τ₀
∫
0
𝑆
(τ,μ₀)
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀-τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
.
(19.50)
Последний член формулы (19.49) учитывает излучение, отражённое поверхностью и прошедшее через атмосферу.
Входящая в уравнение величина 𝐼(μ₀) заранее также не является известной. Очевидно, что она зависит от искомой интенсивности излучения, падающего на поверхность, или от соответствующего коэффициента яркости σ(μ,μ₀). Чтобы найти указанную зависимость, надо прежде всего написать выражение для освещённости поверхности. Легко видеть, что освещённость прямыми солнечными лучами равна
π𝐹
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ₀
⎞
⎟
⎠
μ₀
,
а освещённость диффузным излучением атмосферы равна
2π𝐹
μ₀
1
∫
0
σ
(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
.
Умножая суммарную освещённость на альбедо поверхности 𝐴, мы получаем количество энергии, отражённое поверхностью. С другой стороны, это количество энергии равно π𝐼(μ₀). Поэтому имеем
𝐼
(μ₀)
=
𝐴𝐹
μ₀
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ₀
⎞
⎟
⎠
+2
1
∫
0
σ
(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
⎤
⎥
⎦
.
(19.51)
Для нахождения величин ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) сравним между собой уравнения (19.24) и (19.48). Из этого сравнения видно, что
𝑆
(τ,μ₀)
=
𝑆(τ,μ₀)
+
2
𝐹
𝐼
(μ₀)
1
∫
0
𝑆(τ₀-τ,μ')
𝑑μ'
.
(19.52)
Умножая (19.52) на
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ
μ
⎞
⎟
⎠
𝑑τ
μ
,
интегрируя в пределах от нуля до τ₀ и пользуясь формулами (19.25), (19.26) и (19.49), получаем
ρ
(μ,μ₀)
=
ρ(μ,μ₀)
+
+
𝐼(μ₀)
𝐹(μ₀)
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ
⎞
⎟
⎠
+2
1
∫
0
σ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
⎤
⎥
⎦
.
(19.53)
Аналогично находим
σ
(μ,μ₀)
=
σ(μ,μ₀)
+
𝐼(μ₀)
𝐹(μ₀)
2
1
∫
0
ρ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
.
(19.54)
Для определения величины 𝐼(μ₀) умножим (19.54) на 2μ 𝑑μ и проинтегрируем в пределах от нуля до 1. При помощи (19.51) это даёт
𝐼
(μ₀)
=
𝐴
1-𝐴𝐶
⎡
⎢
⎣
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ₀
⎞
⎟
⎠
+2
1
∫
0
σ(μ,μ₀)
μ
𝑑μ
⎤
⎥
⎦
𝐹
μ₀
,
(19.55)
где обозначено
𝐶
=
4
1
∫
0
μ
𝑑μ
1
∫
0
ρ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
.
(19.56)
Вводя также обозначения
𝑀(μ)
=
exp
⎛
⎜
⎝
-
τ₀
μ
⎞
⎟
⎠
+
2
1
∫
0
σ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
,
(19.57)
𝑁(μ)
=
2
1
∫
0
ρ(μ,μ')
μ'
𝑑μ'
(19.58)
и подставляя (19.55) в (19.53) и (19.54), получаем
ρ
(μ,μ₀)
=
ρ(μ,μ₀)
+
𝐴
1-𝐴𝐶
𝑀(μ)
𝑀(μ₀)
,
(19.59)
σ
(μ,μ₀)
=
σ(μ,μ₀)
+
𝐴
1-𝐴𝐶
𝑁(μ)
𝑀(μ₀)
(19.60)
Таким образом, мы пришли к формулам, посредством которых коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴≠0 выражаются через коэффициенты яркости ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀) при 𝐴=0.
Входящие в формулы (19.59) и (19.60) величины 𝑀(μ) и 𝑁(μ) можно выразить через те же вспомогательные функции φ(μ) и ψ(μ), через которые раньше были выражены величины ρ(μ,μ₀) и σ(μ,μ₀). При помощи формул (19.39) и (19.40), а также уравнений (19.41) и (19.42), находим
𝑀(μ)
=
⎛
⎜
⎝
1-
λ
2
α₀
⎞
⎟
⎠
ψ(μ)
+
λ
2
β₀
φ(μ)
,
(19.61)
𝑁(μ)
=
1-
⎛
⎜
⎝
1-
λ
2
α₀
⎞
⎟
⎠
φ(μ)
-
λ
2
β₀
ψ(μ)
,
(19.62)
где использованы обозначения
α
𝑖
1
∫
